System Kelly

Autor systemu Kelly

Kryterium Kelly (ang. Kelly criterion) jest wzorem na matematycznie optymalne zarządzanie pieniędzmi. Pasjonuje graczy zakładów sportowych, karciarzy, inwestorów, managerów i ekonomistów.

Kelly formula po raz pierwszy została opisana w 1956 roku przez naukowca John'a Kelly'ego (1923 – 1965).

John Kelly urodził się w stanie Texas w USA. Spędził 4 lata w USA Navy jako pilot podczas II Wojny Światowej. W 1953 uzyskał tytuł doktora w dziedzinie fizyki.

W 1962 roku Kelly użył komputera do syntezy mowy, która została użyta w jednym z ówczesnych filmów.

Kelly zmarł na udar mózgu na chodniku Manhattanu w młodym wieku 41 lat. Mówi się, że nigdy nie używał własnego kryterium, aby zarabiać pieniądze.

Wprowadzenie

Kryterium Kelly jest wzorem używanym do maksymalizowania długoterminowego współczynnika tempa wzrostu powtarzalnych gier o podanym ryzyku, które mają pozytywną wartość oczekiwaną. Formuła Kelly'ego określa jaki procent bieżącego bankrolla należy postawić na każdym etapie gry.

System Kelly maksymalizuje współczynnik tempa wzrostu w długim okresie, a zatem także minimalizuje ryzyko ruiny, ale to ryzyko jest różne od zera. Używając systemu Kelly nie możemy doprowadzić do bankructwa, ale wartość bankrolla może zmierzać do 0 jednostek. A zatem skończone prawdopodobieństwo ruiny istnieje. Założeniem wzoru jest nieskończona podzielność stawek, co nie powinno przeszkadzać w praktyce, jeśli bankroll jest wystarczająco duży.

Obliczenia

Tw. (Kryterium Kelly'ego)

Długoterminowy współczynnik wzrostu jest maksymalizowany przez znalezienie ułamka f* z bankrollu, który maksymalizuje wartość oczekiwaną logarytmu rezultatów. Dla zakładów z dwoma wynikami, gdzie jeden powoduje utratę całych środków na zakład, a drugi zawiera zwycięską kwotę pomnożoną przez oferowany kurs, ułamek f* obliczamy za pomocą wzoru:

gdzie:

• f* jest ułamkiem obecnego bankrollu do postawienia;
• k jest kursem oferowanym na zakład;
• p jest prawdopodobieństwem wygranej (p = 1-q).

Dowód

Załóżmy, że szukamy ułamka f (0 < f < 1) obecnego bankrollu B, a oferowany kurs wynosi k (w oryginalnym źródle angielskim v=k-1). Jeśli wygramy otrzymamy zysk v·f·B; w przypadku zaś porażki tracimy f·B i nowy bankroll ma postać:

Przyjmijmy, że gramy wielokrotnie przyjmując "nowy" bankroll (oznaczony B') po grze jako "stary" bankroll (oznaczony B) dla kolejnej gry. Zakładamy, że gra i kursy się nie zmieniają i nie zmieniamy naszej strategii podczas gry (stawiania ułamka z bankrollu).

Przypuśćmy, że wygraliśmy w razy z n wszystkich gier i przegraliśmy n-w razy. Aby znaleźć nowy bankroll, potrzebujemy pomnożyć przez [1+(k-1)·f] początkowy bankroll w razy ("współczynnik wygranych") oraz przez (1-f) pomnożyć (n-w) razy ("współczynnik przegranych"):

To dało nam współczynnik zmiany bankrollu od początku, czyli po n grach. Oznaczmy przez y średni współczynnik zmiany bankrolla na grę. Wtedy po n grach, bankroll wzrośnie o czynnik y^n:

Wartość f dla której funkcja y(f) osiąga maksimum jest taka sama jak dla funkcji ln [y(f)] (wynika z monotoniczności i różnowartościowości funkcji ln):

Przyjmując p=w/n, q=1-p i przyrównując prawą stronę do zera, otrzymujemy:

Ponieważ przy n dążącym do nieskończoności w/n zmierza do p oraz 1-w/n zmierza do q, dlatego powyższa równość jest optymalnym współczynnikiem maksymalizującym zyski w długim okresie czasu przy podanych założeniach i f*=f co należało dowieźć.

Nie zawsze musimy stawiać wartość f*, którą podaje nam system.

Niech B będzie początkową wartością bankrolla (BR). Wtedy jeśli stawiamy pełen system 100% Kelly (f=1), mamy następujący wzór na prawdopodobieństwo:

Ogólnie dla dowolnego f (ułamkowy system Kelly)

Przykład

Gracz ma 40% szanse wygrania (p = 0.40, q = 0.60), a oferowany kurs na zdarzenie wynosi k=3,00. Używając systemu Kelly powinien on postawić 10% bankrolla na każdą możliwość (f*=0.10), aby zmaksymalizować długoterminowy współczynnik wzrostu bankrolla.

Jeśli value=1 lub mniejsze od 1, np. jeśli k ≤ q/p+1, wtedy gracz nie powinien stawiać. Reguła upraszcza się dla k = 2,00 do postaci:

f* = p-q = 2•p-1

i można ją sformułować słowami:
Stawiaj taki ułamek bankrolla, który jest równy twojej procentowej przewadze.

Wady i zalety systemu Kelly

Używanie systemu Kelly w praktyce ma również swoje wady. Kiedy są robione serie zakładów, szansa spadku do 1/n bankrolla wynosi 1/n. Zatem mamy 50% szanse w pewnym momencie stracenia 50% bankrolla, 10% szanse utraty do poziomu 10% itd.

Optymalny współczynnik wzrostu bankrolla zapewnia stawianie pełnych stawek sugerowanych przez kryterium Kelly'ego (f=1), ale to powoduje niestabilne wyniki. Są szanse 1/3 na uzyskanie połowy bankrolla zanim się go podwoi, co uzyskujemy korzystając ze wzoru wyżej dla y = 2; x = 1 otrzymujemy 2/3.

Popularną alternatywą jest stawianie połowy sugerowanej kwoty (f = ½ ), co daje 3/4 zwrotu z zainwestowanego kapitału z o wiele mniejszą niestabilnością. Przy zastosowaniu systemu Kelly'ego generującego procent złożony wzrostu 9,06% z pełnymi stawkami, połowiczne stawki mogą zgromadzić procentowy współczynnik wzrostu 7,5%.

Nadstawkowanie ponad sugestie systemu zmniejsza wydajność, jako że długofalowy współczynnik wzrostu spada do zera, kiedy stawki Kelly'ego zmierzają do podwojenia. Używanie zakładów ½-Kelly także zabezpiecza przeciw zrujnowaniu przez nadstawkowanie.

Powyższy system stosuje się do serii zakładów. Lepiej jest je dywersyfikować. Przykładowo gracz, który stawia na każdego konia w biegu używając kryterium Kelly zrobi lepszy średni długofalowy zwrot niż gracz, który stawia tylko na jednego konia w biegu. Podobnie w zakładach bukmacherskich i na rynku papierów wartościowych.

Z działu Programy Bukmacherskie możesz pobrać arkusz kalkulacyjny pomocny w stosowaniu systemu Kelly. Polecam również dwa artykuły w języku angielskim:
How to test the Kelly Criterion
Kelly criterion - Wikipedia

Ostatnia aktualizacja: 1.10.2011

Autor:

Captcha:

Treść:

Wyślij