ARTYKUŁ

    Kelly

    ocena SureBety.pl
    Ty też oceń artykuł
    Ocena: 3,67/5
    Głosów: 3
    Aby ocenić artykuł, musisz się zalogować.
    Zdjęcie Johna Kelly'egoAmerykanin John Kelly

    Autor systemu Kelly

    Kryterium Kelly (ang. Kelly criterion) jest wzorem na matematycznie optymalne zarządzanie pieniędzmi. Pasjonuje graczy zakładów sportowych, karciarzy, inwestorów, managerów i ekonomistów.

    Kelly formula po raz pierwszy została opisana w 1956 roku przez naukowca John'a Kelly'ego (1923 – 1965).

    John Larry Kelly, Jr. urodził się w stanie Texas w USA. Spędził 4 lata w USA Navy jako pilot podczas II Wojny Światowej. W 1953 uzyskał tytuł doktora w dziedzinie fizyki.

    W 1962 roku Kelly użył komputera do syntezy mowy, która została użyta w jednym z ówczesnych filmów.

    Kelly zmarł na udar mózgu na chodniku Manhattanu w młodym wieku 41 lat.
    Mówi się, że nigdy nie używał własnego kryterium, aby zarabiać pieniądze.

    Wprowadzenie

    Kryterium Kelly jest wzorem używanym do maksymalizowania długoterminowego współczynnika tempa wzrostu powtarzalnych gier o podanym ryzyku, które mają pozytywną wartość oczekiwaną. Formuła Kelly'ego określa jaki procent bieżącego bankrolla należy postawić na każdym etapie gry.

    System Kelly maksymalizuje współczynnik tempa wzrostu w długim okresie, a zatem także minimalizuje ryzyko ruiny, ale to ryzyko jest różne od zera. Używając systemu Kelly nie możemy doprowadzić do bankructwa, ale wartość bankrolla może zmierzać do 0 jednostek. A zatem skończone prawdopodobieństwo ruiny istnieje. Założeniem wzoru jest nieskończona podzielność stawek, co nie powinno przeszkadzać w praktyce, jeśli bankroll jest wystarczająco duży.

    Obliczenia

    Tw. (Kryterium Kelly'ego)

    Długoterminowy współczynnik wzrostu jest maksymalizowany przez znalezienie ułamka f* z bankrollu, który maksymalizuje wartość oczekiwaną logarytmu rezultatów[1]. Dla zakładów z dwoma wynikami, gdzie jeden powoduje utratę całych środków na zakład, a drugi zawiera zwycięską kwotę pomnożoną przez oferowany kurs, ułamek f* obliczamy za pomocą wzoru:

    wzor-kryterium-kelly.jpg

    gdzie:

    • f* jest ułamkiem przeznaczonego na grę kapitału do postawienia;
    • k jest kursem oferowanym na zakład;
    • p jest prawdopodobieństwem wygranej (p = 1-q).

    Przykład

    Poniższe przykłady są liczone dla pk=1,10 (yield=10%) i pk=1,05 (yield=5%), ponieważ dobrzy typerzy osiągają długoterminowy yield min. 5%.

    Przykłady te mają na celu zobrazować zależność f* od wielkości ilorazu prawdopodobieństwa/kursu. Dla innych wartości pk>1 zależności te będą podobne.

    yield = 10%

    p = 99%, k = 1,11 → f* = 9,9%
    p = 90%, k = 1,22 → f* = 4,95%
    p = 75% , k = 1,47 → f* = 2,36%
    p = 50%, k = 2,20 → f* = 0,92%
    p = 25%, k = 4,40 → f* = 0,32%
    p = 10%, k = 11,0 → f* = 0,11%

    yield = 5%

    p = 99%, k = 1,06 → f* = 17,33%
    p = 90%, k = 1,17 → f* = 6,3%
    p = 75% , k = 1,40 → f* = 2,63%
    p = 50%, k = 2,10 → f* = 0,95%
    p = 25%, k = 4,20 → f* = 0,33%
    p = 10%, k = 10,5 → f* = 0,11%

    Z podanego przykładu można wysnuć następujące wnioski:

    • Im większy yield gracza, tym mniejszą kwotę kapitału musi on ryzykować.
    • Im większy kurs, tym mniejsza stawka jaką należy postawić.
    • Dla kursów mniejszych od 1,40 wartość stawki jaką powinien postawić gracz jest niebezpiecznie wysoka i mimo iż zapewnia optymalny wzrost posiadanego kapitału, stwarza realne zagrożenie dla budżetu gracza.

    FAKT 1:
    Zawodowi gracze rzadko grają kursy mniejsze od 1,40 chyba że mają one duże value.

    FAKT 2:
    Zawodowi gracze przy stawkowaniu stosują zasadę odwrotnej proporcjonalności, czyli stawiają mniej na wysokie kursy, a więcej na niższe kursy.

    Dowód twierdzenia Kelly'ego

    Załóżmy, że szukamy ułamka f (0 < f < 1) obecnego bankrollu B, a oferowany kurs wynosi k (w oryginalnym źródle angielskim v=k-1). Jeśli wygramy otrzymamy zysk v·f·B; w przypadku zaś porażki tracimy f·B i nowy bankroll ma postać:

    nowy-kapital-stary-kapital-kelly.jpg

    Przyjmijmy, że gramy wielokrotnie przyjmując "nowy" bankroll (oznaczony B') po grze jako "stary" bankroll (oznaczony B) dla kolejnej gry. Zakładamy, że gra i kursy się nie zmieniają i nie zmieniamy naszej strategii podczas gry (stawiania ułamka z bankrollu).

    Przypuśćmy, że wygraliśmy w razy z n wszystkich gier i przegraliśmy n-w razy. Aby znaleźć nowy bankroll, potrzebujemy pomnożyć przez [1+(k-1)·f] początkowy bankroll w razy ("współczynnik wygranych") oraz przez (1-f) pomnożyć (n-w) razy ("współczynnik przegranych"):

    stosunek-nowego-kapitalu-do-starego-kelly.jpg

    To dało nam współczynnik zmiany bankrollu od początku, czyli po n grach. Oznaczmy przez y średni współczynnik zmiany bankrolla na grę. Wtedy po n grach, bankroll wzrośnie o czynnik y^n:

    wspolczynnik-zmiany-kapitalu-kelly.jpg

    Wartość f dla której funkcja y(f) osiąga maksimum jest taka sama jak dla funkcji ln [y(f)] (wynika z monotoniczności i różnowartościowości funkcji ln):

    pochodna-wspolczynnika-zmiany-kapitalu-kelly.jpg

    Przyjmując p=w/n, q=1-p i przyrównując prawą stronę do zera, otrzymujemy:

    przyrownanie-pochodnej-wspolczynnika-do-zera-kelly.jpg

    Ponieważ przy n dążącym do nieskończoności w/n zmierza do p oraz 1-w/n zmierza do q, dlatego powyższa równość jest optymalnym współczynnikiem maksymalizującym zyski w długim okresie czasu przy podanych założeniach i f*=f co należało dowieźć.

    Idea systemu Kelly jest oparta na podejmowaniu gry o ustalonym kursie i prawdopodobieństwie. W dowodzie jest wykorzystane założenie, że granica lim(liczba wygranych)/(liczba gier) dąży do określonego prawdopodobieństwa. W bukmacherce nie mamy do czynienia z zakładami o stałych p i k, lecz z serią zakładów o różnych p i k za każdym razem. Gdyby jednak dostosować model i do tego założenia, rezultat byłby identyczny - wzór miałby zastosowanie do każdej pojedynczej próby.

    Ułamkowy system Kelly

    Nie zawsze musimy stawiać wartość f*, którą podaje nam system[2].

    Niech B będzie początkową wartością bankrolla (BR). Wtedy jeśli stawiamy pełen system 100% Kelly (f=1), mamy następujący wzór na prawdopodobieństwo osiągnięcia kapitału wartości y·B zanim spadnie do x·B:

    prawdopodobienstwo-wzrostu-przed-spadkiem-pelny-kelly.jpg

    Ogólnie dla dowolnego f (ułamkowy system Kelly)

    prawdopodobienstwo-wzrostu-przed-spadkiem-ulamkowy-kelly.jpg

    Przykład

    Gracz ma 40% szanse wygrania (p = 0.40, q = 0.60), a oferowany kurs na zdarzenie wynosi k=3,00. Używając systemu Kelly powinien on postawić 10% bankrolla na każdą możliwość (f*=0.10), aby zmaksymalizować długoterminowy współczynnik wzrostu bankrolla.

    Jeśli value=1 lub mniejsze od 1, np. jeśli k ≤ q/p+1, wtedy gracz nie powinien stawiać.
    Reguła upraszcza się dla k = 2,00 do postaci:

    f* = p-q = 2•p-1

    i można ją sformułować słowami:

    Stawiaj taki ułamek bankrolla, który jest równy twojej procentowej przewadze.

    Wady i zalety systemu Kelly

    Używanie systemu Kelly w praktyce ma również swoje wady. Kiedy są robione serie zakładów, szansa spadku do 1/n bankrolla wynosi 1/n. Zatem mamy 50% szanse w pewnym momencie stracenia 50% bankrolla, 10% szanse utraty do poziomu 10% itd.

    Optymalny współczynnik wzrostu bankrolla zapewnia stawianie pełnych stawek sugerowanych przez kryterium Kelly'ego (f=1), ale to powoduje niestabilne wyniki. Są szanse 1/3 na uzyskanie połowy bankrolla zanim się go podwoi, co uzyskujemy korzystając ze wzoru wyżej dla y = 2; x = 1 otrzymujemy 2/3.

    podwojenie-kapitalu-przed-utrata-polowy-kelly.jpg

    Popularną alternatywą jest stawianie połowy sugerowanej kwoty (f = ½ ), co daje 3/4 zwrotu z zainwestowanego kapitału z o wiele mniejszą niestabilnością. Przy zastosowaniu systemu Kelly'ego generującego procent złożony wzrostu 9,06% z pełnymi stawkami, połowiczne stawki mogą zgromadzić procentowy współczynnik wzrostu 7,5%.

    Nadstawkowanie ponad sugestie systemu zmniejsza wydajność, jako że długofalowy współczynnik wzrostu spada do zera, kiedy stawki Kelly'ego zmierzają do podwojenia. Używanie zakładów ½-Kelly także zabezpiecza przeciw zrujnowaniu przez nadstawkowanie.

    Powyższy system stosuje się do serii zakładów. Lepiej jest je dywersyfikować. Przykładowo gracz, który stawia na każdego konia w biegu używając kryterium Kelly zrobi lepszy średni długofalowy zwrot niż gracz, który stawia tylko na jednego konia w biegu. Podobnie w zakładach bukmacherskich i na rynku papierów wartościowych[3].

    Z działu Arkusze Excel możesz pobrać arkusz kalkulacyjny pomocny w stosowaniu systemu Kelly.

    Zastosowanie Kelly w hazardzie

    O ile system Kelly jest wzorem na optymalne dobieranie stawek pod kątem maksymalizacji zysku, o tyle nie uwzględnia on w ogóle dbałości o stabilność kapitału (brak znaczących wahań). System warto rozważyć przy małym kapitale na grze, w przypadku gdy gracz zamierza go szybko pomnożyć w możliwie optymalny sposób, kosztem dużego ryzyka utraty znacznej części kapitału. 

    System może mieć zastosowanie w turniejach pokerowych jako strategia stawkowania w początkowej fazie budowania bankrolla. Potem można zmienić stawkowanie na ułamkowy Kelly lub na inny "bezpieczny" system.

    Tam gdzie kasyno ma przewagę nad graczami, systemu Kelly'ego nie stosuje się.

    Choć model Kelly nie ma zastosowania w zakładach bukmacherskich przy dużym kapitale, to wyjaśnia dlaczego nie warto stawiać niskich kursów i stosować zasadę odwróconej proporcjonalności.

    Literatura

    [1] A bet you can't refuse - źródło obliczeń z grupy dyskusyjnej

    [2] Two Risk of Ruin Equations - równania dot. ułamkowego systemu Kelly

    [3] Ile można zaryzykować w jednej transakcji - artykuł o wykorzystywaniu systemu Kelly na Giełdzie Papierów Wartościowych

    Zobacz też:
    Porównanie systemów bukmacherskich
    stawkowanie 1-10j
    stawkowanie procentowe

    Ostatnia aktualizacja: 1.06.2015

    Ty też oceń artykuł
    Ocena: 3,67/5
    Głosów: 3
    Aby ocenić artykuł, musisz się zalogować.


    Tagi:kelly  kryterium  stawkowanie 
     


    Nie jesteś zalogowany.
    ...a zalogowani dostają więcej. Zaloguj się, jeśli chcesz skomentować ten artykuł.

    Captcha


    Komentarze (7)



    • (924)
      06-09-2014 11:43 (sob)
      Rzeczywiście. Nie wiem co się z nim stało i nie mogę go znaleźć nawet w google.

      Zbędna treść usunięta zatem, dzięki ;)
      195 192 Odpowiedz

      Odpowiedz na komentarz

      Nie jesteś zalogowany,
      ...a zalogowani dostają więcej. Zaloguj się, jeśli chcesz skomentować ten artykuł.
      Podaj powód zgłoszenia komentarza do usunięcia

      zamknij ×

    • anonim IP: 89.228.***.***
      02-09-2014 08:02 (wt)
      "Bet Optimazer - (105kB) program bukmacherski do metody Kelly'ego, przy większej ilości meczy doradza jak je ze sobą połączyć"

      link nieaktualny ;)
      192 192 Odpowiedz

      Odpowiedz na komentarz

      Nie jesteś zalogowany,
      ...a zalogowani dostają więcej. Zaloguj się, jeśli chcesz skomentować ten artykuł.
      Podaj powód zgłoszenia komentarza do usunięcia

      zamknij ×

    • Sabat
      25-03-2012 18:08 (nd)
      W przypadku zakładów wzajemnych jest to niemożliwe. Możesz jedynie szacować na podstawie:
      a) własnych statystyk
      b) biorąc pod uwagę kursy bukmacherów oraz marże na dość wczesnym etapie wystawiania kursów zanim zadziała prawo popytu/podaży (czyli korzystając z cudzych statystyk).
      191 213 Odpowiedz

      Odpowiedz na komentarz

      Nie jesteś zalogowany,
      ...a zalogowani dostają więcej. Zaloguj się, jeśli chcesz skomentować ten artykuł.
      Podaj powód zgłoszenia komentarza do usunięcia

      zamknij ×

    • Tapir
      24-03-2012 14:02 (sob)
      A jak obiektywnie ocenić wygraną? Przyjmujemy 1/3 na zakłady z remisem? No bo wtedy wychodzi na to, ze minimalny kurs, ktory mozemy postawic musi byc dosc wysoki. Albo źle rozumiem strategie.
      187 186 Odpowiedz

      Odpowiedz na komentarz

      Nie jesteś zalogowany,
      ...a zalogowani dostają więcej. Zaloguj się, jeśli chcesz skomentować ten artykuł.
      Podaj powód zgłoszenia komentarza do usunięcia

      zamknij ×

    • Sabat
      30-11-2011 15:31 (śr)
      "Używanie systemu Kelly w praktyce ma również swoje wady. Kiedy są robione serie zakładów, szansa spadku do 1/n bankrolla wynosi 1/n. Zatem mamy 50% szanse w pewnym momencie stracenia 50% bankrolla, 10% szanse utraty do poziomu 10% itd."
      Tu się z Tobą nie mogę zgodzić. To twierdzenie jest prawdziwe, wyłącznie dla:
      a) k=2, czyli tzw. even money betting i to w przypadku gdy
      b) p nie jest większe od 0.6.

      W innych przypadkach P(1/n) jest różne od 1/n
      190 188 Odpowiedz

      Odpowiedz na komentarz

      Nie jesteś zalogowany,
      ...a zalogowani dostają więcej. Zaloguj się, jeśli chcesz skomentować ten artykuł.
      Podaj powód zgłoszenia komentarza do usunięcia

      zamknij ×

    • szachinista
      01-10-2011 21:21 (sob)
      Gratuluję, znalazłeś błąd, który był tu od ponad roku! :)

      Musiałem dopiero sięgnąć do źródła żeby zrozumieć czemu bylo to "-1":

      http://groups.google.com/group/rec.gambling.poker/msg/7bb09884cfac7678

      Oryginalny tekst był po angielsku, a tam mają inny format kursów, który nie uwzględnia stawki, a tylko sam zysk. Jest między nimi taka zależność: EN = EU - 1 (zobacz artykuł zależności kursowe w razie potrzeby).

      I w jednym wzorze zamiast "v" wpisałem "k" i stąd całe zamieszanie. Poprawiłem już chyba wszystko co trzeba.

      Cieszę się bardzo, że ktoś się wreszcie wczytał w te hieroglify ;)
      171 186 Odpowiedz

      Odpowiedz na komentarz

      Nie jesteś zalogowany,
      ...a zalogowani dostają więcej. Zaloguj się, jeśli chcesz skomentować ten artykuł.
      Podaj powód zgłoszenia komentarza do usunięcia

      zamknij ×

    • Kuba
      30-09-2011 22:18 (pt)
      Czemu, "współczynnik wygranych" wynosi (1+(k-1)*f), a nie (1+kf), jak wygraliśmy raz to mieliśmy B(1+kf) więc jak wygramy w razy to zrozumiałem, że mamy S(1+kf)^w z góry dziękuje za pomoc.
      716 190 Odpowiedz

      Odpowiedz na komentarz

      Nie jesteś zalogowany,
      ...a zalogowani dostają więcej. Zaloguj się, jeśli chcesz skomentować ten artykuł.
      Podaj powód zgłoszenia komentarza do usunięcia

      zamknij ×

    Logowanie

    W celu zalogowania się na swoje konto, wypełnij poniższy formularz. Jeżeli nie posiadasz jeszcze konta - zarejestruj się.



    zamknij ×
    Popover Starter

    Jednorazowa oferta

    Jeżeli chcesz:

    Oferuję Ci ZA DARMO 31 minut nagrania video.


     Zgadzam się z Polityką Prywatności
    Top